cs保研经验贴|线性代数

保研资料：线性代数

基本知识

线性代数的基本问题：方程组求解、最小二乘、特征值、奇异值。线性代数是关于线性空间和线性映射的代数学。
线性映射（ linear mapping）是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射，且保持加法运算和数量乘法运算，而线性变换（linear transformation）是线性空间V到其自身的线性映射。
线性空间：V是一个非空集合，F是一个数域，定义加法和数乘，且满足八条公理化定义，则称V为F上的线性空间，V中元素称为向量。V中的极大线性无关组称为一个基，个数称为V的维数。
正定矩阵的所有顺序主子式的值大于0，特征值大于0。可逆变换保正定性。
二次型存在标准型及规范型。
二阶是指最高阶只有二阶即y”
常系数是指y”, y’,y前面的系数p,q是常数
线性是指微分方程中只包含y及其各阶导数的一次幂项（y’，y’‘）,或含这些一次幂项与x的各种运算组合构成的混合项。但是，不含y及其各阶导数的高次幂项,也不含y及其各阶导数之间的混合项。例如：只含ay、by’、cxy”一类的项,不含ayy、byyy、cyy’、fxyy”一类的项.（abcf为常数）。
齐次是指微分方程中不含常数项,也不含仅由x的各种运算组合构成的项（比如6x,2*sinx，3cosx等）；
微分方程：含有参数（如x）、未知函数y和未知函数导数（如y‘，y’‘）的方程。
矩阵可逆
矩阵可逆：满秩、列向量线性无关，行列式值不为0，可经过可逆变换变成E，伴随矩阵（代数余子式构成）可逆。
矩阵求逆：利用伴随矩阵、利用初等变换。

合同，正交，相似

合同：两矩阵是同一二次型在不同基上的对称矩阵。
正交矩阵：转置等于逆阵的矩阵，每一列均为单位向量，且任意两列向量的内积为0。正交变化下，可以将向量旋转而不改变其长度、之间的夹角。
相似的矩阵拥有相同的特征值、秩、行列式、特征多项式。
对于实对称矩阵（特征值都是实数），其特征向量相互正交，因而一定满足线性无关。故可利用正交矩阵实现相似对角化，一般的合同变换只保证正负惯性性质。
特征值和特征向量可以用于图像压缩、降噪和特征提取等领域。例如，主成分分析（PCA）方法就利用了特征向量来提取图像中的关键特征：我们可以通过保留最大的特征值对应的特征向量进行数据降维，从而捕捉数据的主要变化趋势。

特征值与特征向量

矩阵作为变换的本质是把一个基底下的东西变换到另一个基底表示的空间中。
一个线性变换矩阵作用在一个向量上之后，若变换后的向量保持方向不变，则该向量为特征向量，沿着这个方向伸缩的比例大小就是特征值。
矩阵所有的特征向量组成了这个向量空间的一组基底。
特征向量可以用于将矩阵对角化，从而简化线性变换的描述。这在计算中能够提高效率。
行列式和特征向量与所选坐标系无关。
矩阵的秩
矩阵的秩有什么应用：判断线性方程组的解的情况。应用：图像压缩，秩越低，图像越模糊。
矩阵的秩是：行阶梯形非零行的数量、最大非零r阶子式、极大线性无关组的数量、非零特征值的数量、维数。
满秩：有n个互异特征值，或k重特征值对应k个线性无关的特征向量，或为对称矩阵。